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प्रश्न
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
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उत्तर
मान लीजिए x घनीय खुला बाक्स के वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई है और y इसकी ऊंचाई है।
∴ खुले बाक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल
c2 = x2 + 4xy
⇒ y = `("c"^2 - x^2)/(4x)` ....(i)
अब बाक्स का आयतन, V = x × x × y
⇒ V = x2y
⇒ V = `x^2(("c"^2 - x^2)/(4x))`
⇒ V = `1/4 ("c"^2x - x^3)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dv"/"dx" = 1/4 ("c"^2 - 3x^2)` ....(ii)
`"dV"/"dx"` = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
∴ `1/4 ("c"^2 - 3x^2)` = 0
⇒ c2 – 3x2 = 0
⇒ x2 = `"c"^2/3`
∴ x = `sqrt("c"^2/3) = "c"/sqrt(3)`
अब पुन: विभेदित समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`("d"^2"V")/("dx"^2) = 1/4 (- 6x)`
= `(-3)/2 * "c"/sqrt(3) < 0` ...(उच्चिष्ठ)
घनीय बाक्स का आयतन (V) = x2y
= `x^2(("c"^2 - x^2)/4x)`
= `"c"/sqrt(3)[("c"^2 - "c"^2/3)/4]`
= `"c"/sqrt(3) xx (2"c"^2)/(3 xx 4)`
= `"c"^3/(6sqrt(3))`
अतः खुले बाक्स का अधिकतम आयतन `"c"^3/(6sqrt(3))` घन इकाई है।
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