Question

भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

यह दिया गया है कि, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्रों का योग x, 2x और `x/3` और एक क्षेत्र स्थिर है।

मान लीजिए S दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।

∴ S = 2`(x * 2x + 2x * x/3  +x/3 * x) + 4pi"r"^2` = k

⇒ `4pi"r"^2 = "k" - 6x^2`

⇒ r² = `("k" - 6x^2)/(4pi)`

⇒ r = `sqrt(("k" - 6x^2)/(4pi)`  .....(i)

मान लीजिए V समानांतर चतुर्भुज और गोले दोनों के आयतन के योग को दर्शाता है।

फिर, V = `2x * x * x/3 + 4/3 pi"r"^3`

= `2/3 x^3 + 4/3 pi"r"^3`

= `2/3 x^3 + 4/3pi(("kk" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`

= `2/3 x^3 + 4/3 pi (("k" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`

⇒ V = `2/3 x^3 + 1/(6sqrt(pi)) ("k" - 6x^2)^(3/2)`  ....(ii)

विभेदक w.r.t. x,

`"dV"/"dx" = 2/3 * 3x^2 + 1/(6sqrt(pi)) * 3/2 * ("k" - 6x^2)^(1/2)(-12x)`

= `2x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)`  ....(iii)

मान लीजिए `"dV"/"dx"` = 0

⇒ `2x^2 = (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)`

⇒ `4x^4 = (9x^2)/pi ("k" - 6x^2)`

⇒ `4pix^4 = 9"k"x^2 - 54x^4`

⇒ `x^2 = (9"k")/(4pi + 54)`

⇒ x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))`  .....(iv)

स्पष्ट रूप से यह बिंदु न्यूनतम है।

जब x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))`

`"r"^2 = ("k" - 6) ((9"k")/(4pi + 54))/(4pi)`

= `("k"(4pi + 54) - 54"k")/(4pi(4pi + 54))`

= `(4"k"pi)/(4pi(4pi + 54))`

= `"k"/(4pi + 54)`

⇒ r = `sqrt("k"/(4pi + 54))`

⇒ x = 3r

साथ ही V = `2/3x^3 + 4/3 pi"r"^3`

= `2/3(3"r")^3 + 4/3 pi"r"^3`

= `18"r"^3 + 4/3 pi"r"^3`

= `(18 + 4/3 pi)"r"^3`

= `((54 + 4pi)/3)("k"/(4pi + 54))^(3/2)`

= `"k"^(3/2)/(3(4pi + 54)^(3/2)`