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प्रश्न
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
विकल्प
दो स्थानीय उच्चतम बिंदु हैं।
दो स्थानीय निम्नतम बिंदु हैं।
एक उच्चतम तथा एक निम्नतम है।
कोई भी उच्चतम या निम्नतम नहीं है।
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उत्तर
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के एक उच्चतम तथा एक निम्नतम है।
व्याख्या:
हमारे पास f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 है।
f'(x) = 6x2 – 6x – 12
f'(x) = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
∴ 6x2 – 6x – 12 = 0
⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒ x2 – 2x + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x + 1)(x – 2) = 0
x = –1, 2 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के बिंदु हैं।
अब f'(x) = 12x – 6
`"f''"(x)_(x = -1)` = 12(–1) – 6
= – 12 – 6
= – 18 < 0, उच्चिष्ठ
`"f''"(x)_(x = 2)` = 12(2) – 6
= 24 – 6
= 18 > 0 निम्निष्ठ
अत: फलन x = –1 पर अधिकतम और x = 2 पर न्यूनतम होता है।
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