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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
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उत्तर
दिए गए वृत्त हैं xy = 4 .....(i)
और x2 + y2 = 8 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) w.r.t., x
`x * "dy"/"dx" + y * 1` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - y/x`
⇒ m1 = `- y/x` .....(iii)
जहाँ, m1 वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल है।
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x
`2x + 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - x/y`
⇒ m2 = `- x/y`
जहाँ, m2 वृत्त की स्पर्श रेखा का ढाल है।
दो वृत्तों के संपर्क बिंदु का पता लगाने के लिए
m1 = m2
⇒ `- y/x = - x/y`
⇒ x2 = y2
y2 का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x2 + x2 = 8
⇒ 2x2 = 8
⇒ x2 = 4
∴ x = ± 2
∵ x2 = y2
⇒ y = ± 2
∴ दो वृत्तों के संपर्क बिंदु (2, 2) और (– 2, 2) हैं।
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