Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
Advertisements
उत्तर
हमारे पास है f(x) = `log x/x, x > 0`
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है,
⇒ `f' (x) = (x(1/x) - (log x)*1)/x^2`
`= (1 - log x)/x^2`
उच्चतम / न्यूनतम के लिए, f(x) = 0
⇒ `(1 - log x)/x^2 = 0`
⇒ log x = 1 .....(∵x2 ≠ 0)
⇒ x = e
पुनः x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है,
`f'' (x) = (x^2 (-1/x) - (1 - log x) 2x)/x^4`
`= (-x - 2x + 2x log x)/x^4`
`= (x (2 log x - 3))/x^4`
`= (2 log x - 3)/x^3`
साथ ही, f'' (e) = `(2 log e - 3)/e^3`
`= (2.1 - 3)/e^3` ....(∵ loge e = 1)
`= -1/e^3 < 0`
⇒ f(x) का मान x = e पर उच्चतम है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tanx – 4x अंतराल `((-pi)/3, pi/3)` निरंतर हासमान है।
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि `x + 1/x` का स्थानीय उच्चतम मीन उसके स्थानीय निम्नतम मान से कम है।
किसी शांकवीय बर्तन के शीर्ष के एक छोटे छिद्र से, जिसका अक्ष ऊर्घ्वाधर है, पानी 1 cu cm/sec की दर से बह रहा है। बर्तन में पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm हैं। शांकवीय बर्तन का शीर्ष कोण `pi/6` है।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
अंतराल `[-pi/2, pi/2]` में फलन f (x) = sin2x – x, के उच्चतम तथा निम्नितम मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
sinx + cosx का उच्चिष्ठ मान ______ है।
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
