Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
Advertisements
उत्तर
माना ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90° है।
माना AC = x, BC = y
∴ AB = `sqrt(x^2 - y^2)`
∠ACB = θ
माना Z = x + y ....(दिया है)
अब ΔABC, A का क्षेत्रफल = `1/2 xx "AB" xx "BC"`
⇒ A = `1/2 y * sqrt(x^2 - y^2)`
⇒ A = `1/2 y * sqrt(("Z" - y)^2 - y^2)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
⇒ A2 = `1/4 y^2 [("Z" - y)^2 - y^2]`
⇒ A2 = `1/4 y^2 ["Z"^2 + y^2 - 2"Z" y - y^2]`
⇒ P = `1/4 y^2 ["Z"^2 - 2"Z"y]`
⇒ P = `1/4 [y^2"Z"^2 - 2"Z"y^3]` ....[A2 = P]
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. y हमें मिलता है
`"dP"/"dy" = 1/4 [2y"Z"^2 - 6"Z"y^2]` .....(i)
स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए
`"dP"/"dy"` = 0
∴ `1/4 (2y"Z"^2 - 6"Z"y^2)` = 0
⇒ `(2y"Z")/4 ("Z" - 3y)` = 0
⇒ yZ(Z – 3y) = 0
⇒ yZ ≠ 0 .....(∵ y ≠ 0 और Z ≠ 0)
⇒ Z – 3y = 0
⇒ y = `"Z"/3`
⇒ y = `(x + y)/3` .....(∵ Z = x + y)
⇒ 3y = x + y
⇒ 3y – y = x
⇒ 2y = x
⇒ `y/x = 1/2`
⇒ cos θ = `1/2`
∴ θ = `pi/3`
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. y,
हमारे पास `("d"^2"P")/("dy"^2) = 1/4 [2"Z"^2 - 12"Z"y]`
`("d"^2"P")/("dy"^2)` पर y = `"Z"/3 = 1/4 [2"Z"^2 - 12"Z" * "Z"/3]`
= `1/4 [2"Z"^2 - 4"Z"^2]`
= `(-"Z"^2)/2 < 0`
इसलिए, दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब उसके कर्ण और एक भुजा के बीच का कोण होता है `pi/3`।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
अंतराल `[-pi/2, pi/2]` में फलन f (x) = sin2x – x, के उच्चतम तथा निम्नितम मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।
वक्र y = sinx के बिंदु (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण:
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 की, बिंदु (2, -1) पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता ______ है।
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
फलन f(x) = `(2x^2 - 1)/x^4`, x > 0, अंतराल में ______ हासमान है।
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
