Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
Advertisements
उत्तर
हमारे पास है: f (x) = sinx + `sqrt(3)` cosx
= `2(1/2 sin x + sqrt(3)/2 cos x)`
= `2(cos pi/3 sin x + sin pi/3 cos x)`
= `2 sin (x + pi/3)`
f'(x) = `2cos(x + pi/3)`
f"(x) = `-2sin(x + pi/3)`
`"f''"(x)_(x = pi/6) = - 2 sin (pi/6 + pi/3)`
= `- 2 sin pi/2`
= – 2.1
= – 2< 0 ....(उच्चिष्ठ)
= `- 2 xx sqrt(3)/2`
= `- sqrt(3) < 0` .....(उच्चिष्ठ)
x = `pi/6` पर फलन का अधिकतम मान है
`sin pi/6 + sqrt(3) cos pi/6 = 1/2 + sqrt(3) * sqrt(3)/2` = 2
इसलिए, दिए गए फलन का अधिकतम मान x = `pi/6` है और अधिकतम मान 2 है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(33)-1/5
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि `x + 1/x` का स्थानीय उच्चतम मीन उसके स्थानीय निम्नतम मान से कम है।
f(x) = secx + log cos2x, 0 < x < 2π का उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
यदि f (x) = sinx तो अंतराल `[(-pi)/2, pi/2]` में f का निम्निष्ठ मान ______ है।
sinx + cosx का उच्चिष्ठ मान ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
एक पतंग 151.5 cm की ऊंचाई पर क्षैतिज दिशा में गतिमान है। यदि पतंग की चाल 10 m/s है, तो डोरी को कितनी तेजी से छोड़ा जा रहा है, जब उसकी दूरी पतंग उड़ाने वाले लड़के से 250 cm है? लड़के की ऊंचाई 1.5 m है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
