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प्रश्न
`y = [x (x - 1) + 1]^(1/3), 0 le x le 1,` का उच्चतम मान है:
विकल्प
`(1/3)^(1/3)`
`1/2`
1
0
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उत्तर
1
स्पष्टीकरण:
माना, y = [x (x – 1) + 1]1/3
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = 1/3 [x (x - 1) + 1]^(-2/3) d/dx [x(x - 1) + 1]`
`= 1/3 [x (x - 1) + 1]^(-2/3) × (2x - 1)`
`= (2x - 1)/(3 [x (x - 1) + 1]^(2/3))`
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `dy/dx = 0 => 2x - 1 = 0 => x = 1/2`
अब बिंदु `x = 1/2` और अंतराल [0, 1] के अंत बिंदुओं पर f का मान ज्ञात करते हैं।
x = 0 पर, `f(0) = 1^(1/3) = 1`
x = 1 पर, `f(1) = 1^(1/3) = 1`
x `= 1/2 "पर," f(1/2) = [1/2 (-1/2) xx 1]^(1/3) = (3/4)^(1/3)`
`dy/dx , x = 1/2` पर चिन्ह -ve से +ve में परिवर्तित हो रहा है।
`therefore x = 1/2` पर y निम्नतम है।
उच्चतम मान = 1
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