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प्रश्न
वक्र x2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है:
विकल्प
`(2sqrt2,4)`
`(2sqrt2,0)`
(0, 0)
(2, 2)
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उत्तर
`(2sqrt2,4)`
स्पष्टीकरण:
माना वक्र x2 = 2y पर कोई बिंदु P(x, y) है।
दिया हुआ बिंदु A (0, 5) है।
PA2 = (x - 0)2 + (y - 5)2 = z (माना)
Z = x2 + (y - 5)2 …(1)
तथा वक्र x2 = 2y …(2)
x2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
Z = 2y + (y - 5)2
= 2y + y2 + 25 - 10y
= y2 + 25 - 8y
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(dZ)/dy =2y- 8`
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `(dZ)/dy = 0`
⇒ 2y - 8 = 0 ∴ y = 4
समीकरण (2) से, x2 = 2 x 4 = 8 ∴ x = 2`sqrt2`
दोनों पक्षों का पुन: y के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(d^2Z)/(dy^2) = 2 = +ve`
x = 2 `sqrt2` y = 4 पर Z निम्नतम है।
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