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प्रश्न
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए x और y आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।
अर्धवृत्त की त्रिज्या `= x/2`
अर्द्ध-वृत्त की परिधि = `(pix)/2.`
खिड़की की परिधि
AB + BC + AD + DC
`x + 2y + (pix)/2= 10`
⇒ 2x + 4y + πx = 20
⇒ `y = (20 - (2 + pi)x)/4`
खिड़की का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल + अर्धवृत्त का क्षेत्रफल।
`A = xy + 1/2 pi (x/2)^2`
`= x ((20 - (2 + pi)x)/4) + (pix^2)/8.`
`A = (20x - (2 + pi) x^2)/4 + (pix^2)/8.`
∴ `(dA)/dx = (20 - (2 + pi) 2x)/4 + (2pix)/8`
A के अधिकतम / न्यूनतम के लिए,
`(dA)/dx = 0`
⇒ `(20 - (2 + pi) 2x)/4 + (2pix)/8 = 0`
⇒ 20 - (2 + π) 2x + πx = 0
⇒ 20 + x (π - 4 - 2π) = 0
⇒ 20 - x (4 + π) = 0
⇒ `x = 20/ (4 + pi)`
`(d^2A)/dx^2 = (-(2 + pi)2)/4 + (2pi)/8`
`= (-4 -2pi + pi)/4`
` = (-4 -pi)/4`
⇒ `(d^2A)/dx^2 < 0`
इसलिए खिड़की अधिकतम प्रकाश को स्वीकार करती है जब x = लंबाई = `20/ (4 + pi)`
तथा चौड़ाई `y = (20 - (2 + pi) 20/(4 + pi))/4`
`= (80 + 20pi - 40 - 20 pi)/(4 (4 + pi))`
`= 40/ (4(4 + pi))`
`= 10/ (4 + pi).`
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