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प्रश्न
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m2 और दीवारों पर Rs. 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
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उत्तर
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल = ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m2
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु.
चारों दीवारों का क्षेत्रफल
= 2 (x + y) × 2 = 4 (x + y) मीटर2
दीवारों पर खर्च की दर = Rs. 45 प्रति मीटर2
दीवारों पर कुल खर्च = 48 × 4 (x + y) = Rs. 180 (x + y)
आधार व दीवारों पर कुल खर्च
C = Rs. [70xy + 180(x + y)] ...(2)
समीकरण (1) से, y = `4/x` समीकरण (2) में रखने पर,
C = `70 xx 4 + 180 (x + 4/x)`
`= 280 + 180 (x + 4/x)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dC)/dx = 180 (1 - 4/x^2)`
`= 180((x^2 - 4)/x^2)`
उच्चतम व न्यूनतम के लिए, `(dc)/dx = 0`
`=> 180 *(x^2 - 4)/x^2) = 0`
`=> 180 (x^2 - 4) = 0`
`=> x^2 - 4 = 0`
`=> x^2 = 4`
∴ x = ± 2
जब x = 2, y = `4/2 = 2`
पुनः `(d^2 C)/dx^2 = 180(8/x^3)`
x = 2 पर `(d^2 C)/dx^2 = 180 (8/8) = 180` = + ve है।
⇒ C निम्नतम है।
x = 2 पर निम्नतम खर्च = 280 + 180`(2 + 4/x)`
`= 280 + 180 xx 8/2`
= 280 + 180 × 4
= 280 + 720
= Rs. 1000
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