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आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए - Mathematics (गणित)

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प्रश्न

आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m2 और दीवारों पर Rs. 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?

योग
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उत्तर

माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।

टंकी की गहराई = 2 मीटर

∴ आयतन = 2 × x × y

= 2ry = 8                (दिया है)

xy = 4                   …(1)

आयताकार का क्षेत्रफल = ry

आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m2

∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु.

चारों दीवारों का क्षेत्रफल

= 2 (x + y) × 2 = 4 (x + y) मीटर2

दीवारों पर खर्च की दर = Rs. 45 प्रति मीटर2

दीवारों पर कुल खर्च = 48 × 4 (x + y) = Rs. 180 (x + y)

आधार व दीवारों पर कुल खर्च

C = Rs. [70xy + 180(x + y)]    ...(2)

समीकरण (1) से, y = `4/x` समीकरण (2) में रखने पर,

C = `70 xx 4 + 180 (x + 4/x)`

`= 280 + 180 (x + 4/x)`

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`(dC)/dx = 180 (1 - 4/x^2)`

`= 180((x^2 - 4)/x^2)`

उच्चतम व न्यूनतम के लिए, `(dc)/dx = 0`

`=> 180 *(x^2 - 4)/x^2) = 0`

`=> 180 (x^2 - 4) = 0`

`=> x^2 - 4 = 0`

`=> x^2 = 4`

∴ x = ± 2

जब x = 2, y = `4/2 = 2`

पुनः `(d^2 C)/dx^2 = 180(8/x^3)`

x = 2 पर `(d^2 C)/dx^2 = 180 (8/8) = 180` = + ve है।

⇒ C निम्नतम है।

x = 2 पर निम्नतम खर्च = 280 + 180`(2 + 4/x)`

`= 280 + 180 xx 8/2`

= 280 + 180 × 4

= 280 + 720

= Rs. 1000 

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उच्चतम और निम्नतम - एक संवृत्त अंतराल में किसी फलन का उच्चतम और निम्नतम मान
  क्या इस प्रश्न या उत्तर में कोई त्रुटि है?
अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग - विविध प्रश्नावली [पृष्ठ १९४]

APPEARS IN

एनसीईआरटी Ganit Bhag 1 aur 2 [Hindi] Class 12
अध्याय 6 अवकलज के अनुप्रयोग
विविध प्रश्नावली | Q 6. | पृष्ठ १९४

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