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प्रश्न
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
विकल्प
`22/7`
`6/7`
`7/6`
`(-6)/7`
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उत्तर
`6/7`
स्पष्टीकरण-
वक्र x = t2 + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t2 + 3t – 8 ⇒ t2 + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t2 – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t2 – 2t – 5 ⇒ 2t2 – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t2 – 2t – 4 = 0
⇒ t2 – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।
∴ t = 2
अब, x = t2 + 3t - 8, `therefore "dx"/"dt" = 2"t" + 3`
तथा y = 2t2 - 2t - 5, ∴ `"dy"/"dx" = 4"t" - 2`
∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता, `"dy"/"dx" = ("dy"//"dt")/("dx"//"dt")`
`= (4"t" - 2)/(2"t" + 3)`
y = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता,
`"dy"/"dx" = (4 xx 2 - 2)/(2 xx 2 + 2)`
`= (8 - 2)/(4 + 3)`
`= 6/7`
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