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प्रश्न
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक संदूक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये जिसके काटने पर बने संदूक का आयतन महत्तम होगा।
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उत्तर
माना अभीष्ट वर्ग की भुजा x है तब ।।
संदूक की लंबाई (l) = (45 - 2x)
तथा संदूक की चौड़ाई (b) = (24 - 2x)
संदूक की ऊँचाई (h) = x
∴ संदूक का आयतन, V = l × b × h
V = x(45 - 2x) · (24 - 2x)
= (4x3 - 138x2 + 1080x) ...(1)
समीकरण (1) का x सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dV)/dx =` 12x2 - 276x + 1080 ...(2)
V के महत्तम मान के लिए, `(dV)/dx = 0`
या 12x2 - 276x + 1080 = 0 या x2 - 23x + 90 = 0
या x2 - 18x - 5x + 90 = 0 या x(x - 18) - 5 (x - 18) = 0
या (x - 18)(x - 5) = 0
`therefore` x = 5, 18
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुन: अवकलन करने पर, `(d^2V)/dx^2` = 24x - 276
x = 5 पर, `(d^2V)/dx^2` = 24 × 5 - 276 = (ऋणात्मक मान)
∴ x = 5 पर V का मान महत्तम होगा।
∴ वर्ग की भुजा 5 सेमी होगी।
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