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45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक संदूक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये - Mathematics (गणित)

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Question

45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक संदूक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये जिसके काटने पर बने संदूक का आयतन महत्तम होगा।

Sum
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Solution

माना अभीष्ट वर्ग की भुजा x है तब ।।

संदूक की लंबाई (l) = (45 - 2x)

तथा संदूक की चौड़ाई (b) = (24 - 2x)

संदूक की ऊँचाई (h) = x

∴ संदूक का आयतन, V = l × b × h

V = x(45 - 2x) · (24 - 2x)

= (4x3 - 138x2 + 1080x)           ...(1)

समीकरण (1) का x सापेक्ष अवकलन करने पर,

`(dV)/dx =` 12x2 - 276x + 1080         ...(2)

V के महत्तम मान के लिए, `(dV)/dx = 0`

या 12x2 - 276x + 1080 = 0  या x2 - 23x + 90 = 0

या x2 - 18x - 5x + 90 = 0   या x(x - 18) - 5 (x - 18) = 0

या (x - 18)(x - 5) = 0

`therefore` x = 5, 18

समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुन: अवकलन करने पर, `(d^2V)/dx^2` = 24x - 276

x = 5 पर, `(d^2V)/dx^2` = 24 × 5 - 276 = (ऋणात्मक मान)

∴ x = 5 पर V का मान महत्तम होगा।

∴ वर्ग की भुजा 5 सेमी होगी।

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उच्चतम और निम्नतम - एक संवृत्त अंतराल में किसी फलन का उच्चतम और निम्नतम मान
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Chapter 6: अवकलज के अनुप्रयोग - प्रश्नावली 6.3 [Page 186]

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NCERT Ganit Part 1 aur 2 [Hindi] Class 12
Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग
प्रश्नावली 6.3 | Q 18. | Page 186

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निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:

f(x) = -(x - 1)2 + 10


निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:

f(x) = |x + 2| - 1


निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:

h(x) = sin (2x) + 5


निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:

h(x) = x + 1, x ∈ (-1,1)


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

f(x) = x2


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

g(x) = x3 - 3x


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2π


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

g(x) `= 1/(x^2 + 2)`


निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

f(x) `= x sqrt(1 - x), 0 < x < 1`


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f(x) = sin x + cos x, x `in [0, pi]`


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