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Question
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई `(4r)/3` है।
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Solution
माना, गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + r cos θ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ
शंकु का आयतन V = `1/3 pi (r sin theta)^2 xx r (1 + cos theta)` ....[∵ शंकु का आयतन = `1/3 pir^2 h]`
`= 1/3 pir^3 sin^2 theta (1 + cos theta)`
अवकलन करने पर,
`(dV)/(d theta) = 1/3 pir^3 [2 sin theta cos theta (1 + cos theta) + sin^2 theta (- sin theta)]`
`= 1/3 pir^3 [2 sin theta cos theta (1 + cos theta) - sin^3 theta]`
`= 1/3 pir^3 sin theta [2 cos theta (1 + cos theta) - sin^2 theta]`
`= 1/3 pir^3 sin theta [2 cos theta + 2 cos^2 theta - 1+ cos^2 theta]`
`= 1/3 pir^3 sin theta [3 cos^2 theta + 2 cos theta - 1]`
`= 1/3 pir^3 sin theta (cos theta + 1)(3 cos theta - 1)`
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dV)/(d theta) = 0`
⇒ cos θ ≠ - 1
⇒ θ ≠ π
∴ (3 cos θ - 1) = 0
⇒ `cos theta = 1/3`
अंतराल `(0, pi/2)` में cos θ ह्रासमान है, θ के घटने से cos θ बढ़ता है और के बढ़ने से घटता है।
⇒ cos θ = `1/3` पर
`(dV)/(d theta)` का चिन्ह धन से ऋण में बदलता है जैसे θ इस बिन्दु से होकर आगे बढ़ता है।
अतः V इस बिन्दु पर उच्चतम है।
शंकु की ऊँचाई = `r (1 + cos theta) = r(1 + 1/3)`
`= r xx 4/3`
= `(4r)/3`
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