Advertisements
Advertisements
Question
18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा?
Advertisements
Solution 1
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ संदूक के लिए,
लंबाई = 18 - 2x
चौड़ाई = 18 - 2x
ऊँचाई = x
आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= x(18 - 2x) (18 - 2x)
= x(18 – 2x)x2 …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`"dV"/"dx"` = x. 2 (18 - 2x) (-2) = (18 - 2x)2. 1
= (18 - 2x) (- 4x + 18 - 2x) = (18 - 2x) (18 - 6x) ...(2)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `"dV"/"dx" = 0`
⇒ (18 - 2x)(18 - 6x) = 0
⇒ 18 - 2x = 0
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9
तथा 18 - 6x = 0
⇒ x `= 18/6 = 3`
`therefore` x = 3, 9
परंतु x = 9 सेमी संभव नहीं है।
समीकरण (2) का पुन: के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2x) (- 6) + (18 - 6x) (- 2)
x = 3 पर, `("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2 × 3) (- 6) + (18 - 6 × 3) (- 2)
= (18 - 6) (- 6) + (18 - 18) (-2)
= 12 × (-6) + 0
= - 72 < 0, - ve
`therefore` x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा अर्थात वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।
Solution 2
मान लीजिए x सेमी उस वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई है जिसे 18 सेमी भुजा वाली वर्गाकार टिन शीट के प्रत्येक कोने से काटा जाना है।
मान लीजिए V फ्लैप को मोड़ने से बने खुले संदूक का आयतन है, तो,
V = x (18 - 2x) (18 - 2x) = 4x (9 - x)2
= 4 (x3 - 18x2 + 81x)
x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है
`(dV)/dx = 4(3x^2 - 36x + 81) = 12 (x^2 - 12x + 27)`
अधिकतम/न्यूनतम मात्रा के लिए
`(dV)/dx = 0`
⇒ 12 (x2 - 12x + 27) = 0
⇒ 12 (x - 3) (x - 9) = 0
⇒ x = 3, 9 परंतु 0 < x < 9
⇒ x = 3
`((d^2V)/dx^2) = 12 (2x - 12) = 24 (x - 6)`
और `((d^2V)/dx^2)_(x=3) = 24 (3 - 6) = -72 <0`
⇒ V का मान x = 3 पर अधिकतम है
अतः, जब काटे जाने वाले वर्ग की भुजा 3 सेमी हो, तो संदूक का आयतन अधिकतम होगा।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = (2x - 1)2 + 3
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = -(x - 1)2 + 10
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
g(x) = x3 + 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = sin (2x) + 5
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = x + 1, x ∈ (-1,1)
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x2
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = x3 - 3x
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
`h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2`
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = `x/2 + 2/x, x > 0`
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
g(x) = log x
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
h(x) = x3 + x2 + x + 1
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x + cos x, x `in [0, pi]`
अंतराल [0, 3] पर 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `sin^-1 (1/3)` होता है।
वक्र x2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है:
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो।
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का `8/27` होता है।
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)4 (x + 1)4 द्वारा प्रदत्त फलन f का
- स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
- स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
- नत परिवर्तन बिन्दु है।
f (x) = cos2 x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई `(4r)/3` है।
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई `(2R)/sqrt3` है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
