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प्रश्न
18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा?
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उत्तर १
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ संदूक के लिए,
लंबाई = 18 - 2x
चौड़ाई = 18 - 2x
ऊँचाई = x
आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= x(18 - 2x) (18 - 2x)
= x(18 – 2x)x2 …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`"dV"/"dx"` = x. 2 (18 - 2x) (-2) = (18 - 2x)2. 1
= (18 - 2x) (- 4x + 18 - 2x) = (18 - 2x) (18 - 6x) ...(2)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `"dV"/"dx" = 0`
⇒ (18 - 2x)(18 - 6x) = 0
⇒ 18 - 2x = 0
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9
तथा 18 - 6x = 0
⇒ x `= 18/6 = 3`
`therefore` x = 3, 9
परंतु x = 9 सेमी संभव नहीं है।
समीकरण (2) का पुन: के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2x) (- 6) + (18 - 6x) (- 2)
x = 3 पर, `("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2 × 3) (- 6) + (18 - 6 × 3) (- 2)
= (18 - 6) (- 6) + (18 - 18) (-2)
= 12 × (-6) + 0
= - 72 < 0, - ve
`therefore` x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा अर्थात वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।
उत्तर २
मान लीजिए x सेमी उस वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई है जिसे 18 सेमी भुजा वाली वर्गाकार टिन शीट के प्रत्येक कोने से काटा जाना है।
मान लीजिए V फ्लैप को मोड़ने से बने खुले संदूक का आयतन है, तो,
V = x (18 - 2x) (18 - 2x) = 4x (9 - x)2
= 4 (x3 - 18x2 + 81x)
x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है
`(dV)/dx = 4(3x^2 - 36x + 81) = 12 (x^2 - 12x + 27)`
अधिकतम/न्यूनतम मात्रा के लिए
`(dV)/dx = 0`
⇒ 12 (x2 - 12x + 27) = 0
⇒ 12 (x - 3) (x - 9) = 0
⇒ x = 3, 9 परंतु 0 < x < 9
⇒ x = 3
`((d^2V)/dx^2) = 12 (2x - 12) = 24 (x - 6)`
और `((d^2V)/dx^2)_(x=3) = 24 (3 - 6) = -72 <0`
⇒ V का मान x = 3 पर अधिकतम है
अतः, जब काटे जाने वाले वर्ग की भुजा 3 सेमी हो, तो संदूक का आयतन अधिकतम होगा।
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