Question

त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a^2/3 + b^2/3)^3/2 है।

Answer 1

माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।

P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लंब खींचे।

मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL

AP = a sec θ, PC = b cosec θ

माना कर्ण की लंबाई l है, तब

l = AP + PC

= a sec θ + b cosec θ

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`therefore (dl)/(d theta) = a sec theta tan theta - b  cosec  theta cot theta`

उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dl)/(d theta) = 0`

⇒ a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ = 0

`=> a 1/(cos θ) * (sin θ)/(cos θ) - b 1/(sin θ) * (cos θ)/(sin θ) = 0`

`=> (a sin θ)/(cos^2 θ) - (b cos θ)/(sin^2 θ) = 0`

⇒ a sin³ θ - b cos³ θ = 0

⇒ a sin³ θ = b  cos³ θ

`=> (sin^3 θ)/(cos^3 θ) = b/a`

`=> tan^3 θ = b/a`

`=> tan θ = (b/a)^(1//3)`

पुनः अवकलन करने पर,

`(d^2l)/(d theta) = a (sec θ * sec^2 θ + tan θ * sec θ tan θ) - b [cosec  θ (- cosec^2 θ) + cot θ (- cosec  θ cot θ)]`

`= a sec θ (sec^2 θ + tan^2 θ) + b  cosec  θ xx (cosec^2 θ xx cot^2 θ)`

`because 0 < theta < pi/2` इसलिए θ के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक हैं।

`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` =  + ve अर्थात l निम्नतम है।

a > 0 और b > 0

`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` = + ve

जब `tan theta = (b/a)^(1/3)` है तो l न्यूनतम है।

∴ l का न्यूनतम मान = a sec θ + b cosec θ

`= a sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/(a^(1/3)) + b sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/ b^(1/3)`

`= sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))  (a^(2/3) + b^(2/3))`

`= (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).`