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Question
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a2/3 + b2/3)3/2 है।
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Solution
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लंब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = a sec θ, PC = b cosec θ
माना कर्ण की लंबाई l है, तब
l = AP + PC
= a sec θ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`therefore (dl)/(d theta) = a sec theta tan theta - b cosec theta cot theta`
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dl)/(d theta) = 0`
⇒ a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ = 0
`=> a 1/(cos θ) * (sin θ)/(cos θ) - b 1/(sin θ) * (cos θ)/(sin θ) = 0`
`=> (a sin θ)/(cos^2 θ) - (b cos θ)/(sin^2 θ) = 0`
⇒ a sin3 θ - b cos3 θ = 0
⇒ a sin3 θ = b cos3 θ
`=> (sin^3 θ)/(cos^3 θ) = b/a`
`=> tan^3 θ = b/a`
`=> tan θ = (b/a)^(1//3)`
पुनः अवकलन करने पर,
`(d^2l)/(d theta) = a (sec θ * sec^2 θ + tan θ * sec θ tan θ) - b [cosec θ (- cosec^2 θ) + cot θ (- cosec θ cot θ)]`
`= a sec θ (sec^2 θ + tan^2 θ) + b cosec θ xx (cosec^2 θ xx cot^2 θ)`
`because 0 < theta < pi/2` इसलिए θ के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक हैं।
`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` = + ve अर्थात l निम्नतम है।
a > 0 और b > 0
`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` = + ve
जब `tan theta = (b/a)^(1/3)` है तो l न्यूनतम है।
∴ l का न्यूनतम मान = a sec θ + b cosec θ
`= a sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/(a^(1/3)) + b sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/ b^(1/3)`
`= sqrt (a^(2/3) + b^(2/3)) (a^(2/3) + b^(2/3))`
`= (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).`
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