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Question
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की `sqrt2` गुनी होती है।
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Solution
माना शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h
`therefore V = 1/3 pir^2 h` = अचल राशि
`therefore r^2h = (3 xx "अचल राशि")/pi = k` (माना लिया)
`r^2h = k, h = k/r^2` ...(1)
वक्रपृष्ठ S = `pirl = pir sqrt(h^2 + r^2)`
S = `pir sqrt(k^2/r^4 + r^2)`
`= pir sqrt((k^2 + r^6)/r^4)`
`= pi/r sqrt(k^2 + r^6)`
अवकलन करने पर,
`therefore (dS)/(dr) = pi [((6r^5)/(2sqrt(r^6 + k^2)) xx r - sqrt(r^6 + k^2) * 1)/r^2]`
`= pi * (3r^6 - (r^6 + k^2))/(r^2 sqrt(r^6 + k^2))`
`= (2r^6 - k^2)/(r^2 sqrt(r^6 + k^2))`
अधिकतम व न्यूनतम के लिए, `(dS)/(dr) = 0`
`=> 2r^6 - k^2 = 0`
`=> r^6 = k^2/2`
`=> r^6 = (h^2 r^4)/2` ...(2)
⇒ h2 = 2r2
∴ h = `sqrt2 r`
h = `sqrt2 r` पर, जब r, `sqrt2 r` से होता हुआ आगे बढ़ता है तो
`(dS)/(dr)`, - ve से + ve में बदलता है।
∴ S न्यूनतम है जब h = `sqrt2 r`
अतः न्यूनतम वक्र पृष्ठ वाला लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या की `sqrt2` गुनी है।
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