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Question
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
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Solution
यदि θ अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण है और l दी गई तिर्यक ऊँचाई है, तो आधार की त्रिज्या
= l sin θ, ऊँचाई = l cos θ ... (∵ ABC समकोण त्रिभुज है।)
तथा शंकु का आयतन = `1/3 pir^2h`
⇒` V = 1/3 pi (l sin theta)^2 lcos theta 1/3 pil^3 sin^2 theta costheta`
जहाँ, V आयतन है।
`(dV)/(d theta) = 1/3 pil^3 {(sin^2 theta) (- sin theta) + cos theta xx 2 sin theta cos theta}`
`= 1/3 pil^3 sin theta [-sin^2 theta + 2 (1 - sin^2 theta)]`
`= 1/3 pil^3 sin theta cos^2 theta [2 sec^2 theta - 3 tan^2 theta]`
`= 1/3 pil^3 sin theta cos^2 theta [2 - tan^2 theta]`
अधिकतम / न्यूनतम आयतन के लिए, `(dV)/(d theta) = 0` मान लें,
`= 1/3 pil^3 sin theta cos^2 theta (2 - tan^2 theta) = 0`
`= tan theta = sqrt 2`
`= theta = tan^-1 sqrt2`
`= (d^2V)/(d theta)^2 = 1/3 pil^3 cos^3 theta (2 - 7 tan^2 theta)`
`= ((d^2V)/(d theta^2))_(tan theta= sqrt2)`
`= 1/3 pi l^3 (1/sqrt3)^3 (2 - 7 xx 2)`
`= (4pil^3)/(3sqrt3) < 0`
इस प्रकार, V तब अधिकतम होता है जब
`tan theta = sqrt 2 or theta = tan^-1 sqrt 2`
यानी, जब शंकु का अर्ध - ऊर्ध्वाधर कोण `tan ^-1 sqrt2` है।
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