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Question
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `sin^-1 (1/3)` होता है।
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Solution
माना शंकु की त्रिज्या r, तिरछी ऊँचाई l संपूर्ण पृष्ठ S तथा आयतन V है।
संपूर्ण पृष्ठ `S = pir (r + I) "या" pirI = S - pir^2`
या `l = (S - pir^2)/(pir) = S/(pir) - r` ...(1)
तथा आयतन V = `1/3 pir^2h`
या `V^2 = 1/9 pi^2 r^4 h^2 = 1/9 pi^2 r^4 (l^2 - r^2) ...[because Delta OAC "से," h^2 = l^2 - r^2]`
या `V^2 = (pi^2 r^4)/9 [(S/(pir) - r)^2 - r^2]`
`= (pi^2 r^4)/9 [S^2/(pi^2r^2) - (2S)/pi + r^2 - r^2]`
`= pi^2/9 [(S^2 r^2)/pi^2 - (2Sr^4)/pi]`
`therefore V^2 = (S^2 r^2)/9 - (2piSr^4)/9 = u` (माना) ...(2)
समीकरण (2) का r के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(du)/(dr) = S^2/9* 2r - 2/9 piS * 4r^3` ...(3)
u अर्थात V2 के उच्छिष्ट अथवा निम्निष्ठ मान के लिए, `(du)/(dr) = 0`
अर्थात `S^2/9 * 2r - 2/9 pi * S * 4r^3 = 0`
या `(2Sr)/9 [S - 4pir^2] = 0 therefore S = 4pir^2`
या `pir (l + r) = 4pir^2` या l + r = 4r
या l = 3r या r `= l/3`
समीकरण (3) का r के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(d^2u)/(dr^2) = (2S^2)/9 - 8/9 piS * 3r^2`
`S = 4pir^2 "पर," (d^2u)/(dr^2) = (2 (4 pir^2)^2)/9 - 8/9 pi * 4pir^2 * 3r^2`
`= (32pi^2 r^4)/9 - (96 pi^2r^4)/9 = (64pi^2 r^4)/9` (ऋणात्मक)
`therefore r = l/3` पर उच्चिष्ठ होगा, अर्थात शंकु का आयतन V उच्चिष्ठ होगा।
परंतु जब `r = l/3`
तब यदि शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `theta` है, तो
`sin theta = r/l = r/(3r) = 1/3` या `theta = sin^-1 (1/3)`
अतः शंकु का आयतन महत्तम होगा यदि अर्द्ध शीर्ष कोण `sin^-1 (1/3)` होगा।
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