Advertisements
Advertisements
Question
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और x वर्ग की भुजा है, तो,
2πr + 4x = k ....(i)
मान लीजिए S वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का योग है, तो,
`S = pir^2 + x^2 = pir^2 + ((k - 2pir)/4)^2`
`((i) "से", x = (k-2pir)/4)`
`pir^2 + k^2/16 + (pi^2r^2)/4 - (kpir)/4` ....(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`(dS)/(dr) = 2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4` .....(iii)
अधिकतम / न्यूनतम के लिए, `(dS)/(dr) = 0` मान लें,
⇒ `2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4 = 0`
⇒` r (2pi + pi^2/2) = (kpi)/4`
⇒ `r (2kpi)/ (4(4 pi + pi^2)) = k/(2 (4 + pi))`
(iii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,
`(d^2S)/(dr^2) = 2pi + pi^2/2 > 0 AAr`
`((d^2S)/(dr^2))_(r = k/(2(4 + pi))) > 0`
⇒ S न्यूनतम है `r = k/(2(4 + pi)).`
⇒ `x = 1/4{k - (2pi)/2 (k/ (4 + pi))}`
`= (4k)/(4 (4 + pi)) = 2 [k/ (2 (4 + pi))] = 2 (r).`
अतः, S तब न्यूनतम होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी हो।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
`y = [x (x - 1) + 1]^(1/3), 0 le x le 1,` का उच्चतम मान है:
यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = 9x2 + 12x + 2
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |x + 2| - 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |sin 4x + 3|
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = x + 1, x ∈ (-1,1)
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = `x/2 + 2/x, x > 0`
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
f(x) = ex
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1)2 + 3, x `in` [-3, 1]
अंतराल [0, 3] पर 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
वक्र x2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है:
यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x4 - 62x2 + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy3 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा?
100 सेमी3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की `sqrt2` गुनी होती है।
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का `8/27` होता है।
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)4 (x + 1)4 द्वारा प्रदत्त फलन f का
- स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
- स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
- नत परिवर्तन बिन्दु है।
f (x) = cos2 x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई `(2R)/sqrt3` है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
