Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और x वर्ग की भुजा है, तो,
2πr + 4x = k ....(i)
मान लीजिए S वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का योग है, तो,
`S = pir^2 + x^2 = pir^2 + ((k - 2pir)/4)^2`
`((i) "से", x = (k-2pir)/4)`
`pir^2 + k^2/16 + (pi^2r^2)/4 - (kpir)/4` ....(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`(dS)/(dr) = 2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4` .....(iii)
अधिकतम / न्यूनतम के लिए, `(dS)/(dr) = 0` मान लें,
⇒ `2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4 = 0`
⇒` r (2pi + pi^2/2) = (kpi)/4`
⇒ `r (2kpi)/ (4(4 pi + pi^2)) = k/(2 (4 + pi))`
(iii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,
`(d^2S)/(dr^2) = 2pi + pi^2/2 > 0 AAr`
`((d^2S)/(dr^2))_(r = k/(2(4 + pi))) > 0`
⇒ S न्यूनतम है `r = k/(2(4 + pi)).`
⇒ `x = 1/4{k - (2pi)/2 (k/ (4 + pi))}`
`= (4k)/(4 (4 + pi)) = 2 [k/ (2 (4 + pi))] = 2 (r).`
अतः, S तब न्यूनतम होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी हो।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
`y = [x (x - 1) + 1]^(1/3), 0 le x le 1,` का उच्चतम मान है:
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
g(x) = - |x + 1| + 3
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |sin 4x + 3|
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
`h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2`
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = `x/2 + 2/x, x > 0`
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
g(x) = log x
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
h(x) = x3 + x2 + x + 1
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x + cos x, x `in [0, pi]`
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = 4x `- 1/2 x^2, x in [-2, 9/2]`
अंतराल [0, 3] पर 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
अंतराल [0, 2π] के किन बिंदुओं पर फलन sin 2 x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `sin^-1 (1/3)` होता है।
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy3 उच्चतम हो।
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक संदूक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये जिसके काटने पर बने संदूक का आयतन महत्तम होगा।
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंर्तगत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
100 सेमी3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की `sqrt2` गुनी होती है।
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m2 और दीवारों पर Rs. 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई `(4r)/3` है।
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई `(2R)/sqrt3` है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
