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प्रश्न
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
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उत्तर
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और x वर्ग की भुजा है, तो,
2πr + 4x = k ....(i)
मान लीजिए S वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का योग है, तो,
`S = pir^2 + x^2 = pir^2 + ((k - 2pir)/4)^2`
`((i) "से", x = (k-2pir)/4)`
`pir^2 + k^2/16 + (pi^2r^2)/4 - (kpir)/4` ....(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`(dS)/(dr) = 2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4` .....(iii)
अधिकतम / न्यूनतम के लिए, `(dS)/(dr) = 0` मान लें,
⇒ `2pir + (2pi^2r)/4 - (kpi)/4 = 0`
⇒` r (2pi + pi^2/2) = (kpi)/4`
⇒ `r (2kpi)/ (4(4 pi + pi^2)) = k/(2 (4 + pi))`
(iii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,
`(d^2S)/(dr^2) = 2pi + pi^2/2 > 0 AAr`
`((d^2S)/(dr^2))_(r = k/(2(4 + pi))) > 0`
⇒ S न्यूनतम है `r = k/(2(4 + pi)).`
⇒ `x = 1/4{k - (2pi)/2 (k/ (4 + pi))}`
`= (4k)/(4 (4 + pi)) = 2 [k/ (2 (4 + pi))] = 2 (r).`
अतः, S तब न्यूनतम होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी हो।
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