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प्रश्न
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए, f (x) = x + sin2x, 0 ≤ x ≤ 2π
⇒ f' (x) = 1 + 2cos 2x
⇒ क्रांतिक बिंदुओं के लिए, मान लीजिए f' (x) = 0
⇒ 1 + cos 2x = 0
⇒ `cos 2x = -1/2`
⇒ `cos 2x = -cos pi/3`
(यदि 0< x < 2π, तो 0< 2x < 4π)
`⇒ cos 2x = cos (pi- pi/3), cos (pi + pi/2), cos (3pi - pi/3), cos (3pi + pi/3)`
⇒ `2x = (2pi)/3 , (4pi)/3, (8pi)/3, (10pi)/3`
⇒ `x = pi/3, (2pi)/3, (4pi)/3, (5pi)/3`
अतः, अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात करने के लिए, हम f (x) का मूल्यांकन `0, 2pi , pi/3, (2pi)/3, (4pi)/3, (5pi)/3` पर करते हैं।
अब, f(0) = 0 + sin 0 =
f (2π) = 2π + sin 4π = 2π + 0 = 2π
`f (pi/3) = pi/3 + sin (2pi)/3 = pi/3 + sin (pi - pi/3)`
= `pi/3 + sin pi/3 = pi/3 + sqrt3/2`
`f ((2pi)/3) = (2pi)/3 + sin (4pi)/3 = (2pi)/3 + sin (pi + pi/3)`
= `(2pi)/3 - sin pi/3 = (2pi)/3 - sqrt3/2`
`f((4pi)/3) = (4pi)/3 + sin (8pi)/3 = (4pi)/3 + sin (2pi + (2pi)/3)`
= `(4pi)/3 + sin (2pi)/3 = (4pi)/3 + sqrt3/2`
और `f ((5pi)/3) = (5pi)/3 + sin (10pi)/3 = (5pi)/3 + sin (3pi + pi/3)`
= `(5pi)/3 -sin pi/3 = (5pi)/3 - sqrt3/2`
इस प्रकार, x = 2π पर f (x) का अधिकतम मान = 2π और x = 0 पर f (x) का न्यूनतम मान = 0 है।
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