Advertisements
Advertisements
प्रश्न
18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा?
Advertisements
उत्तर १
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ संदूक के लिए,
लंबाई = 18 - 2x
चौड़ाई = 18 - 2x
ऊँचाई = x
आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= x(18 - 2x) (18 - 2x)
= x(18 – 2x)x2 …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`"dV"/"dx"` = x. 2 (18 - 2x) (-2) = (18 - 2x)2. 1
= (18 - 2x) (- 4x + 18 - 2x) = (18 - 2x) (18 - 6x) ...(2)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `"dV"/"dx" = 0`
⇒ (18 - 2x)(18 - 6x) = 0
⇒ 18 - 2x = 0
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9
तथा 18 - 6x = 0
⇒ x `= 18/6 = 3`
`therefore` x = 3, 9
परंतु x = 9 सेमी संभव नहीं है।
समीकरण (2) का पुन: के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2x) (- 6) + (18 - 6x) (- 2)
x = 3 पर, `("d"^2"V")/"dx"^2` = (18 - 2 × 3) (- 6) + (18 - 6 × 3) (- 2)
= (18 - 6) (- 6) + (18 - 18) (-2)
= 12 × (-6) + 0
= - 72 < 0, - ve
`therefore` x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा अर्थात वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।
उत्तर २
मान लीजिए x सेमी उस वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई है जिसे 18 सेमी भुजा वाली वर्गाकार टिन शीट के प्रत्येक कोने से काटा जाना है।
मान लीजिए V फ्लैप को मोड़ने से बने खुले संदूक का आयतन है, तो,
V = x (18 - 2x) (18 - 2x) = 4x (9 - x)2
= 4 (x3 - 18x2 + 81x)
x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है
`(dV)/dx = 4(3x^2 - 36x + 81) = 12 (x^2 - 12x + 27)`
अधिकतम/न्यूनतम मात्रा के लिए
`(dV)/dx = 0`
⇒ 12 (x2 - 12x + 27) = 0
⇒ 12 (x - 3) (x - 9) = 0
⇒ x = 3, 9 परंतु 0 < x < 9
⇒ x = 3
`((d^2V)/dx^2) = 12 (2x - 12) = 24 (x - 6)`
और `((d^2V)/dx^2)_(x=3) = 24 (3 - 6) = -72 <0`
⇒ V का मान x = 3 पर अधिकतम है
अतः, जब काटे जाने वाले वर्ग की भुजा 3 सेमी हो, तो संदूक का आयतन अधिकतम होगा।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
`y = [x (x - 1) + 1]^(1/3), 0 le x le 1,` का उच्चतम मान है:
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = (2x - 1)2 + 3
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = -(x - 1)2 + 10
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
g(x) = x3 + 1
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = x3 - 3x
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2π
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
f(x) = ex
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3, x ∈ [-2, 2]
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x + cos x, x `in [0, pi]`
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1)2 + 3, x `in` [-3, 1]
अंतराल [0, 3] पर 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x4 - 62x2 + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy3 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
100 सेमी3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का `8/27` होता है।
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)4 (x + 1)4 द्वारा प्रदत्त फलन f का
- स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
- स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
- नत परिवर्तन बिन्दु है।
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई `(4r)/3` है।
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन `4/27` = πh3 tan2 α है।
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
