Advertisements
Advertisements
प्रश्न
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a2/3 + b2/3)3/2 है।
Advertisements
उत्तर
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लंब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = a sec θ, PC = b cosec θ
माना कर्ण की लंबाई l है, तब
l = AP + PC
= a sec θ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`therefore (dl)/(d theta) = a sec theta tan theta - b cosec theta cot theta`
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dl)/(d theta) = 0`
⇒ a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ = 0
`=> a 1/(cos θ) * (sin θ)/(cos θ) - b 1/(sin θ) * (cos θ)/(sin θ) = 0`
`=> (a sin θ)/(cos^2 θ) - (b cos θ)/(sin^2 θ) = 0`
⇒ a sin3 θ - b cos3 θ = 0
⇒ a sin3 θ = b cos3 θ
`=> (sin^3 θ)/(cos^3 θ) = b/a`
`=> tan^3 θ = b/a`
`=> tan θ = (b/a)^(1//3)`
पुनः अवकलन करने पर,
`(d^2l)/(d theta) = a (sec θ * sec^2 θ + tan θ * sec θ tan θ) - b [cosec θ (- cosec^2 θ) + cot θ (- cosec θ cot θ)]`
`= a sec θ (sec^2 θ + tan^2 θ) + b cosec θ xx (cosec^2 θ xx cot^2 θ)`
`because 0 < theta < pi/2` इसलिए θ के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक हैं।
`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` = + ve अर्थात l निम्नतम है।
a > 0 और b > 0
`therefore (d^2 l)/(d theta)^2` = + ve
जब `tan theta = (b/a)^(1/3)` है तो l न्यूनतम है।
∴ l का न्यूनतम मान = a sec θ + b cosec θ
`= a sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/(a^(1/3)) + b sqrt (a^(2/3) + b^(2/3))/ b^(1/3)`
`= sqrt (a^(2/3) + b^(2/3)) (a^(2/3) + b^(2/3))`
`= (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
g(x) = x3 + 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |x + 2| - 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = sin (2x) + 5
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |sin 4x + 3|
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = x3 - 3x
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
f(x) = ex
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
g(x) = log x
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
h(x) = x3 + x2 + x + 1
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x + cos x, x `in [0, pi]`
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = 4x `- 1/2 x^2, x in [-2, 9/2]`
अंतराल [0, 3] पर 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
वक्र x2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है:
यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x4 - 62x2 + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy3 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो।
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा?
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की `sqrt2` गुनी होती है।
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
f (x) = cos2 x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई `(4r)/3` है।
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
