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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का `8/27` होता है।
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उत्तर
माना VAB गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन है।
स्पष्टतयाः अधिकतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले की ऊँचाई के साथ होना चाहिए।
माना ∠AOC = θ
∴ AC, शंकु के आधार की त्रिज्या = R sin θ, जहाँ R
गोले की त्रिज्या है।
शंकु की ऊँचाई VC = VO + OC = R + R cos θ
शंकु का आयतन; V = `1/3 pi (AC)^2 xx (VC)`
`=> V = 1/3 piR^2 sin^2 θ (R + R cos theta)`
`=> V = 1/3 piR^3 sin^2 theta (1 + cos theta)`
अवकलन करने पर,
`therefore (dV)/(d theta) = 1/3 piR^3 [sin^2 theta (- sin theta) + (1 cos theta) * 2 sin theta cos theta]`
`= 1/3 piR^3 [- sin^3 theta + 2 sin theta cos theta + 2 sin theta (1 - sin^2 theta)]`
`= 1/3 piR^3 [- sin^3 theta + 2 sin theta cos theta + 2 sin theta - 2sin^2 theta]`
`= 1/3 pi R^3 [- 3 sin^3 theta + 2 sin theta + 2 sin theta cos theta]`
न्यूनतम व अधिकतम के लिए, `(dV)/(d theta) = 0`
`=> 1/3 piR^3 (- 3 sin^3 theta + 2 sin cos theta + 2 sin theta)` = 0
= - 3 sin3 θ + 2 sin θ cos θ + 2 sin θ = 0
= sin θ (- 3 sin2 θ + 2 cos θ + 2) = 0
= - 3 sin2 θ + 2 cos θ +2 = 0 ...[∵ sin θ ≠ 0]
= -3 (1 - cos2 θ) + 2 cos θ + 2 = 0
= - 3 + cos2 θ + 2 cos θ + 2 = 0
⇒ 3 cos2 θ + 2 cos θ - 1 = 0
⇒ (3 cos θ - 1)(cos θ + 1) = 0
⇒ cos θ = `1/3` cos θ = - 1
परन्तु cos θ ≠ 1 क्योंकि cos θ = - 1 ⇒ θ = π जो कि संभव नहीं है।
`therefore cos theta = 1/3`
जब `cos theta = 1/3`, तब `sin theta = sqrt(1 - cos^2 theta) = sqrt(1 - 1/9)`
`= sqrt(8/9)`
`= (2 sqrt2)/3`
अब `(dV)/(d theta) = 1/3 piR^3 sin theta [- 3 sin^2 theta + 2 + 2 cos theta]`
`= 1/3 piR^3 sin theta (3 cos theta - 1)(cos theta + 1)`
`cos theta = 1/3, dV/(d theta)` का चिन्ह + ve से -ve हो जाता है।
∴ V, `theta = cos^-1 (1/3)` पर उच्चतम है।
θ घटाने पर cos θ में वृद्धि होती है।
अब cos θ = `1/3` है तो V अधिकतम है।
cos θ के इस मान के लिए शंकु की ऊँचाई
VC = R + R cos θ
`= R + R xx 1/3 = (4R)/3`
शंकु की त्रिज्या = AC = R sin θ = `R * (2sqrt2)/3 = (2 sqrt2)/3 R`
∴ शंकु का अधिकतम आयतन V
`= 1/3 pi (AC)^2 (VC)`
`= 1/3 pi ((2 sqrt2 R)/3)^2 ((4R')/3)`
`= 1/3 pi xx 8/9 R^2 xx (4R)/3`
`= 8/27 (4/3 piR^3)`
`= 8/27 xx` गोले का आयतन
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