Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m2 और दीवारों पर Rs. 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
Advertisements
उत्तर
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल = ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m2
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु.
चारों दीवारों का क्षेत्रफल
= 2 (x + y) × 2 = 4 (x + y) मीटर2
दीवारों पर खर्च की दर = Rs. 45 प्रति मीटर2
दीवारों पर कुल खर्च = 48 × 4 (x + y) = Rs. 180 (x + y)
आधार व दीवारों पर कुल खर्च
C = Rs. [70xy + 180(x + y)] ...(2)
समीकरण (1) से, y = `4/x` समीकरण (2) में रखने पर,
C = `70 xx 4 + 180 (x + 4/x)`
`= 280 + 180 (x + 4/x)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dC)/dx = 180 (1 - 4/x^2)`
`= 180((x^2 - 4)/x^2)`
उच्चतम व न्यूनतम के लिए, `(dc)/dx = 0`
`=> 180 *(x^2 - 4)/x^2) = 0`
`=> 180 (x^2 - 4) = 0`
`=> x^2 - 4 = 0`
`=> x^2 = 4`
∴ x = ± 2
जब x = 2, y = `4/2 = 2`
पुनः `(d^2 C)/dx^2 = 180(8/x^3)`
x = 2 पर `(d^2 C)/dx^2 = 180 (8/8) = 180` = + ve है।
⇒ C निम्नतम है।
x = 2 पर निम्नतम खर्च = 280 + 180`(2 + 4/x)`
`= 280 + 180 xx 8/2`
= 280 + 180 × 4
= 280 + 720
= Rs. 1000
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
अंतराल [1, 3] में 2x3 - 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3, -1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = -(x - 1)2 + 10
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |x + 2| - 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = sin (2x) + 5
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |sin 4x + 3|
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
h(x) = x + 1, x ∈ (-1,1)
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = x3 - 3x
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
`h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2`
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2π
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3, x ∈ [-2, 2]
अंतराल [0, 2π] के किन बिंदुओं पर फलन sin 2 x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
x के सभी वास्तविक मानों के लिए `(1 - x + x^2)/(1 + x = x^2)` का न्यूनतम मान है:
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक संदूक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये जिसके काटने पर बने संदूक का आयतन महत्तम होगा।
एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a2/3 + b2/3)3/2 है।
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई `(2R)/sqrt3` है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन `4/27` = πh3 tan2 α है।
