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प्रश्न
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15
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उत्तर
दिया गया फलन, f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15
`therefore` f'(x) = 3x2 - 12x + 9
= 3 (x2 - 4x + 3)
= 3 (x - 1)(x - 3)
`=>` x = 1 या x = 3
`therefore` x निम्नतम या उच्चतम मान x = 1 या x = 3 पर हो सकता है।
f''(x) = 3(2x - 4) = 6x - 12
x = 1 पर, f''(x) = 6 × 1 - 12 = - 6 (ऋणात्मक)
`therefore` x = 1 पर फलन का मान स्थानीय उच्चतम है।
तथा उच्चतम मान = f(1) = (1)3 - 6(1)2 + 9(1) + 15
= 1 - 6 + 9 + 15
= 19
x = 3 पर, f'' = 6 × 3 - 12 = 6 धनात्मक
`therefore` x = 3 पर f(x) स्थानीय निम्नतम है।
तथा निम्नतम मान = f(3) = (3)3 - 6(3)2 + 9(3) + 15
= 27 - 54 + 27 + 15
= 15
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