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प्रश्न
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy3 उच्चतम हो।
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उत्तर
दिया है,
x + y = 60
x = 60 - y …(1)
माना xy3 = P …(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(60 - y) y3 = P ⇒ P = 60y3 - y4
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dP)/dy = 0`
⇒ 180y2 - 4y3 = 0
⇒ 4y2 (45 - y) = 0
⇒ y = 45 ...(∵ 0 < y < 60) ....(3)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `(dP)/dy = 0`
= 4y2 (45 - y) = 0
`=> y = 45, y ne 0`
समीकरण (3) का पुन: y के सापेक्ष अवकलन पर,
`(d^2P)/(dy^2)` = 360 y - 12y2 = 12 y(30 - y)
y = 45 रखने पर,
इसके अलावा, `(d^2P)/dy^2 = 360y - 12y^2 और`
`((d^2P)/dy^2)_(y = 45) = 360 xx 45 - 12 xx (45)^2 < 0`
इसलिए, जब y = 45 हो तो P अधिकतम होगा
∴ आवश्यक संख्याएँ x = 60 - y = 60 - 45 = 15 और y = 45 हैं।
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