Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन `4/27` = πh3 tan2 α है।
Advertisements
उत्तर
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A'B'DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।
OO' = बेलन की ऊँचाई = VO - VO'
= h - x cot α
V, बेलन का आयतन = πx2 (h - x cot α)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dV)/dx = 2 pi xh - 3 pix^2 cot alpha`
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dV)/dx = 0`
⇒ 2πxh - 3πx2 cot α = 0
⇒ πx (2h - 3x cot α) = 0
⇒ 2h - 3 x cot α = 0
⇒ 3x cot α = 2h
`therefore x = (2h)/3 tan alpha ...[x ne 0]`
अब `(d^2 v)/(dx^2) = 2 pih - 6 pih cot alpha`
जब x = `(2h)/3 tan alpha`
`therefore (d^2V)/dx^2 = 2pih - 6pi (2h)/3 tan alpha cot alpha`
`= 2pih - 4pih`
`= pi(2h - 4h)`
`= - 2 pih < 0`
⇒ V अधिकतम है, जब x = `(2h)/3 tan alpha`
बेलन की ऊँचाई, OO' = VO - VO' = h - x cot α
`= h - ((2h)/3 tan alpha) cot alpha ...[because x = (2h)/3 tan alpha]`
`= h - (2h)/3 = h/3`
`= 1/3` शंकु की ऊँचाई
बेलन का अधिकतम आयतन = πx2 (h - x cot α)
`= pi - (2h/3 tan alpha)^2 * (h - (2h)/3)`
`= pi((2h)/3 tan alpha)^2 xx h/3`
`= 4/27 pih^3 tan^2 alpha`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
अंतराल [1, 3] में 2x3 - 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3, -1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = (2x - 1)2 + 3
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = 9x2 + 12x + 2
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
f(x) = -(x - 1)2 + 10
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए:
g(x) = x3 + 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
f(x) = |x + 2| - 1
निम्नलिखित दिए गए फलन के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए:
g(x) = - |x + 1| + 3
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x2
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
`h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2`
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2π
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) = `x/2 + 2/x, x > 0`
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
g(x) `= 1/(x^2 + 2)`
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = x3, x ∈ [-2, 2]
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = 4x `- 1/2 x^2, x in [-2, 9/2]`
प्रदत्त अंतराल में निम्नलिखित फलन के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1)2 + 3, x `in` [-3, 1]
अंतराल [0, 2π] के किन बिंदुओं पर फलन sin 2 x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `sin^-1 (1/3)` होता है।
x के सभी वास्तविक मानों के लिए `(1 - x + x^2)/(1 + x = x^2)` का न्यूनतम मान है:
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो।
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan-1 `sqrt2` होता है।
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a2/3 + b2/3)3/2 है।
f (x) = cos2 x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
