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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन `4/27` = πh3 tan2 α है।
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उत्तर
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A'B'DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।
OO' = बेलन की ऊँचाई = VO - VO'
= h - x cot α
V, बेलन का आयतन = πx2 (h - x cot α)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dV)/dx = 2 pi xh - 3 pix^2 cot alpha`
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dV)/dx = 0`
⇒ 2πxh - 3πx2 cot α = 0
⇒ πx (2h - 3x cot α) = 0
⇒ 2h - 3 x cot α = 0
⇒ 3x cot α = 2h
`therefore x = (2h)/3 tan alpha ...[x ne 0]`
अब `(d^2 v)/(dx^2) = 2 pih - 6 pih cot alpha`
जब x = `(2h)/3 tan alpha`
`therefore (d^2V)/dx^2 = 2pih - 6pi (2h)/3 tan alpha cot alpha`
`= 2pih - 4pih`
`= pi(2h - 4h)`
`= - 2 pih < 0`
⇒ V अधिकतम है, जब x = `(2h)/3 tan alpha`
बेलन की ऊँचाई, OO' = VO - VO' = h - x cot α
`= h - ((2h)/3 tan alpha) cot alpha ...[because x = (2h)/3 tan alpha]`
`= h - (2h)/3 = h/3`
`= 1/3` शंकु की ऊँचाई
बेलन का अधिकतम आयतन = πx2 (h - x cot α)
`= pi - (2h/3 tan alpha)^2 * (h - (2h)/3)`
`= pi((2h)/3 tan alpha)^2 xx h/3`
`= 4/27 pih^3 tan^2 alpha`
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