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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
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उत्तर
हमारे पास है f(x) = `log x/x, x > 0`
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है,
⇒ `f' (x) = (x(1/x) - (log x)*1)/x^2`
`= (1 - log x)/x^2`
उच्चतम / न्यूनतम के लिए, f(x) = 0
⇒ `(1 - log x)/x^2 = 0`
⇒ log x = 1 .....(∵x2 ≠ 0)
⇒ x = e
पुनः x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है,
`f'' (x) = (x^2 (-1/x) - (1 - log x) 2x)/x^4`
`= (-x - 2x + 2x log x)/x^4`
`= (x (2 log x - 3))/x^4`
`= (2 log x - 3)/x^3`
साथ ही, f'' (e) = `(2 log e - 3)/e^3`
`= (2.1 - 3)/e^3` ....(∵ loge e = 1)
`= -1/e^3 < 0`
⇒ f(x) का मान x = e पर उच्चतम है।
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