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प्रश्न
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
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उत्तर
मान लीजिए x घन की लंबाई है
∴ घन V का आयतन = x3 ......(1)
यह देखते हुए कि `"dV"/"dt"` = K
विभेदक समीकरण (1) w.r.t. t, हमें मिलता है
`"dV"/"dt" = 3x^2 * "dx"/"dt"` = K .....(स्थिर)
∴ `"dx"/"dt" = "K"/(3x^2)`
अब घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, S = 6x2
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. t, हमें मिलता है
`"ds"/"dt" = 6 * 2 * x * "dx"/"dt"`
= `12x * "K"/(3x^2)`
⇒ `"ds"/"dt" = (4"K")/x`
⇒ `"ds"/"dt" oo 1/x` .....(4K = स्थिर)
इसलिए, घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल व्युत्क्रमानुपाती होता है।
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