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प्रश्न
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
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उत्तर
हमारे पास वक्र 3x2 – y2 = 8 का समीकरण है
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
⇒ `6x - 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `-2y "dy"/"dx"` = – 6x
⇒ `"dy"/"dx" = (3x)/y`
दिए गए वक्र पर स्पर्श रेखा का ढाल = `(3x)/y`
∴ वक्र के अभिलंब का ढलान = `- 1/((3x)/y) = - y/(3x)`
अब दी गई रेखा x + 3y = 4 के दोनों पक्षों में अंतर करते हुए
⇒ `1 + 3 * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - 1/3`
क्योंकि वक्र का अभिलम्ब दी गई रेखा x + 3y = 4 के समांतर है।
∴ `- y/(3x) = - 1/3`
⇒ y = x
y का मान 3x2 – y2 = 8, में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
3x2 – x2 = 8
⇒ 2x2 = 8
⇒ x2 = 4
⇒ x = ± 2
∴ y = ± 2
∴ वक्र पर बिंदु (2, 2) और (– 2, – 2) हैं।
अब वक्र के अभिलंब का समीकरण (2, 2) है।
y – 2 = `- 1/3 (x - 2)`
⇒ 3y – 6 = – x + 2
⇒ x + 3y = 8
(– 2, – 2) y + 2 = `- 1/3 (x + 2)` पर
⇒ 3y + 6 = – x – 2
⇒ x + 3y = – 8
इसलिए, अभीष्ट समीकरण x + 3y = 8 और x + 3y = – 8 या x + 3y = ± 8 हैं।
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