Question

नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।

Answer 1

नमक का गेंद गोलाकार होता है

∴ गेंद का आयतन, V = `4/3  pi"r"^3`

जहाँ r = गेंद की त्रिज्या

प्रश्न के अनुसार, `"dV"/"dt" oo  "S"`

जहाँ S = गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ `"d"/"dt" (4/3 pi"r"^3) oo  4pi"r"^2`   .....[∵ S = 4πr²]

⇒ `4/3 pi * 3"r"^2 * "dr"/"dt" oo  4pi"r"^2`

⇒ `4pi"r"^2 * "dr"/"dt" = "K" * 4pi"r"^2`  ......(K = आनुपातिकता का स्थिरांक)

⇒ `"dr"/"dt" = "K" * 4pi"r"^2`

∴ `"dr"/"dt" = "K" * 1` = K

अतः गेंद की त्रिज्या स्थिर दर से घट रही है।