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प्रश्न
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
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उत्तर
मान लीजिए x और y दिए गए आयत ABCD की लंबाई और चौड़ाई है, प्रश्न के अनुसार, आयत AD के चारों ओर घूमती है जो त्रिज्या x ऊँचाई y वाला एक बेलन बनाएगी।
∴ बेलन का आयतन V = `(pi"r"^2)/"h"`
⇒ V = `pix^2y` .....(i)
अब आयत P का परिमाप = 2(x + y)
⇒ 36 = 2(x + y)
⇒ x + y = 18
⇒ y = 18 – x ....(iii)
y का मान समीकरण (i) में रखना हमें मिलता है
V = `pix^2(18 - x)`
⇒ V = `pi(18x^2 - x^3)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dV"/"dx" = pi(36x - 3x^2)` ....(iii)
`"dV"/"dx"` = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
∴ `pi(36x - 3x^2)` = 0
⇒ 36x – 3x2 = 0
⇒ 3x(12 – x) = 0
⇒ x 0
∴ 12 – x = 0
⇒ x = 12
समीकरण (ii) से
y = 18 – 12 = 6
विभेदक समीकरण (iii) w.r.t. x,
हमें मिलता है `("d"^2"V")/("dx"^2) = pi(36 - 6x)`
x = 12 पर `("d"^2"V")/("dx"^2)`
= `pi(36 - 6 xx 12)`
= `pi(36 - 72)`
= `- 36pi < 0` उच्चिष्ठ
अब इस प्रकार बने बेलन का आयतन = `pix^2y`
= `pi xx (12)^2 xx 6`
= `pi xx 144 xx 6`
= 864π cm3
इसलिए, अभीष्ट आयाम 12 cm और 6 cm और tअधिकतम आयतन 864π cm3 है।
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