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प्रश्न
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
पर्याय
e
ee
`"e"^(1/"e")`
`(1/"e")^(1/"e")`
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उत्तर
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है `underline("e"^(1/"e"))`
व्याख्या:
माना f(x) = `(1/x)^x`
दोनों पक्षों पर log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं
log [f (x)] = `x log 1/x`
⇒ log [f (x)] = `x log x^-1`
⇒ log [f (x)] = – [x log x]
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/("f"(x)) * "f'"(x) = - [x * 1/x + log x * 1]`
= `- "f"(x) [1 + log x]`
⇒ f'(x) = `- (1/x)^x [1 + log x]`
f'(x) = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
`-(1/x)^x [1 + log x]` = 0
⇒ `(1/x)^x [1 + log x]`= 0
`(1/x)^x ≠ 0`
∴ 1 + log x = 0
⇒ log x = – 1
⇒ x = e–1
तो, x = `1/"e"` स्थिर बिंदु है।
अब f'(x) = `-(1/x)^x [1 + log x]`
f"(x) = `-[(1/x)^x (1/x) + (1 + log x) * "d"/"dx" (x)^x]`
f"(x) = `-[("e")^(1/"e") ("e") + (1 + log 1/"e") "d"/"dx" (1/"e")^(1/"e")]`
x = `1/"e"`
= `-"e"^(1/"e") 1 < 0` उच्चिष्ठ
∴ x = `1/"e"` पर फलन का अधिकतम मान है।
`"f"(1/"e") = (1/(1/"e"))^(1/"e") = "e"^(1/"e")`
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