Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
विकल्प
e
ee
`"e"^(1/"e")`
`(1/"e")^(1/"e")`
Advertisements
उत्तर
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है `underline("e"^(1/"e"))`
व्याख्या:
माना f(x) = `(1/x)^x`
दोनों पक्षों पर log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं
log [f (x)] = `x log 1/x`
⇒ log [f (x)] = `x log x^-1`
⇒ log [f (x)] = – [x log x]
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/("f"(x)) * "f'"(x) = - [x * 1/x + log x * 1]`
= `- "f"(x) [1 + log x]`
⇒ f'(x) = `- (1/x)^x [1 + log x]`
f'(x) = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
`-(1/x)^x [1 + log x]` = 0
⇒ `(1/x)^x [1 + log x]`= 0
`(1/x)^x ≠ 0`
∴ 1 + log x = 0
⇒ log x = – 1
⇒ x = e–1
तो, x = `1/"e"` स्थिर बिंदु है।
अब f'(x) = `-(1/x)^x [1 + log x]`
f"(x) = `-[(1/x)^x (1/x) + (1 + log x) * "d"/"dx" (x)^x]`
f"(x) = `-[("e")^(1/"e") ("e") + (1 + log 1/"e") "d"/"dx" (1/"e")^(1/"e")]`
x = `1/"e"`
= `-"e"^(1/"e") 1 < 0` उच्चिष्ठ
∴ x = `1/"e"` पर फलन का अधिकतम मान है।
`"f"(1/"e") = (1/(1/"e"))^(1/"e") = "e"^(1/"e")`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
वक्र y = sinx के बिंदु (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण:
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारम्भ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = 2x + cosx द्वारा परिभाषित है, तो f ______
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
