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प्रश्न
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
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उत्तर
माना AB बिजली के खंभे की ऊंचाई है और CD आदमी की ऊंचाई इस प्रकार है कि
AB = `5 1/3 = 16/3 "m"` और CD = 2 m
माना BC = x लंबाई (बिजली के खम्भे से आदमी की दूरी) और CE = y किसी भी समय आदमी की छाया की लंबाई है।
आकृति से, हम देखते हैं कि
ΔABE ~ Δ DCE ......[AAA समानता द्वारा]
∴ उनकी संगत भुजाओं का अनुपात लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
`"AB"/"CD" = "BE"/"CE"`
⇒ `"AB"/"CD" = ("BC" + "CE")/"CE"`
⇒ `(16/3)/2 = (x + y)/y`
⇒ `8/3 = (x + y)/y`
⇒ 8y = 3x + 3y
⇒ 8y – 3y = 3x
⇒ 5y = 3x
दोनों पक्षों को w.r.t, t, से अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`"dy"/"dt" = 3 * "dx"/dt"`
⇒ `"dy"/"dt" = 3/5 * "dx"/"dt"`
⇒ `"dy"/"dt" = 3/5 * ((-5)/3)` ......[∵ आदमी विपरीत दिशा में चल रहा है]
= – 1 m/s
अतः छाया की लंबाई 1 m/s की दर से घट रही है।
अब मान लीजिए u = x + y .....(u = प्रकाश स्तंभ से छाया के सिरे की दूरी)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. t, हमें मिलता है
`"du"/"dt" = "dx"/"dt" + "dy"/dt"`
= `(- 1 2/3 - 1)`
= `-(5/3 + 1)`
= `- 8/3`
= `-2 2/3` m/s
अतः छाया का सिरा `2 2/3` m/s की दर से प्रकाश स्तंभ की ओर गति कर रहा है तथा छाया की लंबाई 1 m/s की दर से घट रही है।
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