Advertisements
Advertisements
प्रश्न
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
दिया हुआ है कि y2 = 4ax .....
(i) तथा x2 = 4by .....(ii). हल करने पर
`(x^2/(4"b"))^2` = 4ax
⇒ x4 = 64 ab2x
या x(x3 – 64 ab2) = 0
⇒ x = 0, x = `4"a"^(1/3) "b"^(2/3)`
अतः (0, 0) तथा `(4"a"^(1/3) "b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` प्रतिच्छेद बिंदु हैं।
पुन:, y2 = 4ax
⇒ `"dy"/"dx" = (4"a")/"dx" = (2"a")/y` तथा x2 = 4by
⇒ `"dy"/"dx" = (2x)/(4"b") = x/(2"b")`
इसलिए, (0, 0) पर वक्र y2 = 4ax की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर है, तथा वक्र x2 = 4by की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
⇒ कक्रों के बीच का कोण = `pi/2`
`(4"a"^(1/3)"b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` पर, m1 ......(वक्र (i) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `2("a"/"b")^(1/3)`
= `(2"a")/(4"a"^(2/3)"b"^(1/3))`
= `1/2("a"/"b")^(1/3)` तथा, m2 ....(वक्र (ii) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `(4"a"^(1/3)"b"^(2/3))/(2"b")`
= `2("a"/"b")^(1/3)`
इसलिए, tan θ = `|("m"_2 - "m"_3)/(1 + "m"_1 "m"_2)|`
= `|(2("a"/"b")^(1/3) - 1/2("a"/"b")^(1/3))/(1 + 2("a"/"b")^(1/3) 1/2("a"/"b")^(1/3))|`
= `(3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))`
अतः, θ = `tan^-1((3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))))`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tanx – 4x अंतराल `((-pi)/3, pi/3)` निरंतर हासमान है।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = 3cos θ – cos3θ, y = 3sinθ – sin3θ के किसी बिंदु पर अभिंलब का समीकरण 4 (y cos3θ – x sin3θ) = 3 sin 4θ
वक्र `3"y" = 6"x" – 5"x"^3` पर स्थित उस बिंदु का भुज, जिस पर वक्र का अभिलंब मूल बिंदुसे होकर जाता है।
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
रेखा x + 3y = 8 के समांतर, वक् 3x2 – y2 = 8 के अभिलंब का समीकरण है।
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
फलन f(x) = `(2x^2 - 1)/x^4`, x > 0, अंतराल में ______ हासमान है।
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
