Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
Advertisements
उत्तर
दिया गया वक्र है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 ....(i)
और सीधी रेखा x cos a + y sin a = p
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/"a"^2 * 2x + 1/"b"^2 * 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x/"a"^2 + y/"b"^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - "b"^2/"a"^2 * x/y`
तो वक्र का ढलान = `(-"b"^2)/"a"^2 * x/y`
अब समीकरण को अलग करना (ii) w.r.t. x, हमारे पास है
`cos alpha + sin alpha * "dy"/"dx"` = 0
∴ `"dy"/"dx" = (- cos alpha)/sinalpha`
= `- cot alpha`
अत: सरल रेखा का ढलान = `- cot alpha`
यदि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है, तो
`(-"b"^2)/"a"^2 * x/y = - cot alpha`
⇒ `x/y = "a"^2/"b"^2 * cot alpha`
⇒ x = `"a"^2/"b"^2 cot alpha * y`
अब समीकरण (ii) से हमारे पास x cos a + y sin a = p है।
⇒ `"a"^2/"b"^2 * cot alpha * y * cos alpha + y sin alpha` = p
⇒ `"a"^2 cot alpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cosalpha/sinalpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha y + "b"^2 sin^2 alpha y = "b"^2 sin alpha "p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha + "b"^2 sin^2 alpha = "b"^2/y * sin alpha * "p"`
⇒ `"a"^2cos^2alpha + "b"^2 sin^2alpha = "p" * "p"` ....`["क्योंकि" "b"^2/y sin alpha = "p"]`
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
वैकल्पिक विधि:
हम जानते हैं कि y = mx + c दीर्घवृत्त को स्पर्श करेगा
`x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 यदि c2 = a2m2 + b2
यहाँ सीधी रेखा का समीकरण x cos α + y sin α = p है और दीर्घवृत्त का समीकरण है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1
x cos α + y sin α = p
⇒ y sin α= – x cos α + p
⇒ y = `- x cosalpha/sinalpha + "P"/sinalpha`
⇒ y = `- x cot alpha + "P"/sinalpha`
y = mx + c की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं
m = `- cot alpha` और c = `"P"/sinalpha`
तो, स्थिति के अनुसार, हमें c2 = a2m2 + b2 मिलता है
`"P"^2/(sin^2alpha) = "a"^2(- cot alpha)^2 + "b"^2`
⇒ `"P"^2/(sin^2alpha) = ("a"^2 cos^2alpha)/(sin^2alpha) + "b"^2`
⇒ p2 = a2 cos2α + b2 sin2α
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
सिद्ध कीजिए कि `x + 1/x` का स्थानीय उच्चतम मीन उसके स्थानीय निम्नतम मान से कम है।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
वक्र y2 = x पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष से `pi/4` कोण बनाती है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
f (x) = 2 sin3x + 3 cos3x का मान x = `(5pi)/6`, पर ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
