Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
Advertisements
उत्तर
दिया गया वक्र है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 ....(i)
और सीधी रेखा x cos a + y sin a = p
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/"a"^2 * 2x + 1/"b"^2 * 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x/"a"^2 + y/"b"^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - "b"^2/"a"^2 * x/y`
तो वक्र का ढलान = `(-"b"^2)/"a"^2 * x/y`
अब समीकरण को अलग करना (ii) w.r.t. x, हमारे पास है
`cos alpha + sin alpha * "dy"/"dx"` = 0
∴ `"dy"/"dx" = (- cos alpha)/sinalpha`
= `- cot alpha`
अत: सरल रेखा का ढलान = `- cot alpha`
यदि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है, तो
`(-"b"^2)/"a"^2 * x/y = - cot alpha`
⇒ `x/y = "a"^2/"b"^2 * cot alpha`
⇒ x = `"a"^2/"b"^2 cot alpha * y`
अब समीकरण (ii) से हमारे पास x cos a + y sin a = p है।
⇒ `"a"^2/"b"^2 * cot alpha * y * cos alpha + y sin alpha` = p
⇒ `"a"^2 cot alpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cosalpha/sinalpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha y + "b"^2 sin^2 alpha y = "b"^2 sin alpha "p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha + "b"^2 sin^2 alpha = "b"^2/y * sin alpha * "p"`
⇒ `"a"^2cos^2alpha + "b"^2 sin^2alpha = "p" * "p"` ....`["क्योंकि" "b"^2/y sin alpha = "p"]`
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
वैकल्पिक विधि:
हम जानते हैं कि y = mx + c दीर्घवृत्त को स्पर्श करेगा
`x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 यदि c2 = a2m2 + b2
यहाँ सीधी रेखा का समीकरण x cos α + y sin α = p है और दीर्घवृत्त का समीकरण है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1
x cos α + y sin α = p
⇒ y sin α= – x cos α + p
⇒ y = `- x cosalpha/sinalpha + "P"/sinalpha`
⇒ y = `- x cot alpha + "P"/sinalpha`
y = mx + c की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं
m = `- cot alpha` और c = `"P"/sinalpha`
तो, स्थिति के अनुसार, हमें c2 = a2m2 + b2 मिलता है
`"P"^2/(sin^2alpha) = "a"^2(- cot alpha)^2 + "b"^2`
⇒ `"P"^2/(sin^2alpha) = ("a"^2 cos^2alpha)/(sin^2alpha) + "b"^2`
⇒ p2 = a2 cos2α + b2 sin2α
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(33)-1/5
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
किसी शांकवीय बर्तन के शीर्ष के एक छोटे छिद्र से, जिसका अक्ष ऊर्घ्वाधर है, पानी 1 cu cm/sec की दर से बह रहा है। बर्तन में पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm हैं। शांकवीय बर्तन का शीर्ष कोण `pi/6` है।
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = 3cos θ – cos3θ, y = 3sinθ – sin3θ के किसी बिंदु पर अभिंलब का समीकरण 4 (y cos3θ – x sin3θ) = 3 sin 4θ
अंतराल `[-pi/2, pi/2]` में फलन f (x) = sin2x – x, के उच्चतम तथा निम्नितम मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।
वक्र `3"y" = 6"x" – 5"x"^3` पर स्थित उस बिंदु का भुज, जिस पर वक्र का अभिलंब मूल बिंदुसे होकर जाता है।
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारम्भ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।
कोण θ, 0 < θ < `π/2`, ज्ञात कीजिए जो अपने sine से दोगुनी तेजी से बढ़ता है।
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
