Advertisements
Advertisements
Question
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया हुआ है कि y2 = 4ax .....
(i) तथा x2 = 4by .....(ii). हल करने पर
`(x^2/(4"b"))^2` = 4ax
⇒ x4 = 64 ab2x
या x(x3 – 64 ab2) = 0
⇒ x = 0, x = `4"a"^(1/3) "b"^(2/3)`
अतः (0, 0) तथा `(4"a"^(1/3) "b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` प्रतिच्छेद बिंदु हैं।
पुन:, y2 = 4ax
⇒ `"dy"/"dx" = (4"a")/"dx" = (2"a")/y` तथा x2 = 4by
⇒ `"dy"/"dx" = (2x)/(4"b") = x/(2"b")`
इसलिए, (0, 0) पर वक्र y2 = 4ax की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर है, तथा वक्र x2 = 4by की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
⇒ कक्रों के बीच का कोण = `pi/2`
`(4"a"^(1/3)"b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` पर, m1 ......(वक्र (i) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `2("a"/"b")^(1/3)`
= `(2"a")/(4"a"^(2/3)"b"^(1/3))`
= `1/2("a"/"b")^(1/3)` तथा, m2 ....(वक्र (ii) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `(4"a"^(1/3)"b"^(2/3))/(2"b")`
= `2("a"/"b")^(1/3)`
इसलिए, tan θ = `|("m"_2 - "m"_3)/(1 + "m"_1 "m"_2)|`
= `|(2("a"/"b")^(1/3) - 1/2("a"/"b")^(1/3))/(1 + 2("a"/"b")^(1/3) 1/2("a"/"b")^(1/3))|`
= `(3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))`
अतः, θ = `tan^-1((3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))))`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
वक्र y2 = x तथा x2 = y के बीच का प्रतिच्छेद - कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tanx – 4x अंतराल `((-pi)/3, pi/3)` निरंतर हासमान है।
फलन f(x) = `- 3/4 x^4 - 8x^3 - 45/2 x^2 + 105` के सभी स्थानीय उच्चिष्ठ तथा स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
किसी शांकवीय बर्तन के शीर्ष के एक छोटे छिद्र से, जिसका अक्ष ऊर्घ्वाधर है, पानी 1 cu cm/sec की दर से बह रहा है। बर्तन में पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm हैं। शांकवीय बर्तन का शीर्ष कोण `pi/6` है।
f(x) = secx + log cos2x, 0 < x < 2π का उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
वक्र y2 = x पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष से `pi/4` कोण बनाती है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
