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Question
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
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Solution
दिया हुआ है कि y2 = 4ax .....
(i) तथा x2 = 4by .....(ii). हल करने पर
`(x^2/(4"b"))^2` = 4ax
⇒ x4 = 64 ab2x
या x(x3 – 64 ab2) = 0
⇒ x = 0, x = `4"a"^(1/3) "b"^(2/3)`
अतः (0, 0) तथा `(4"a"^(1/3) "b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` प्रतिच्छेद बिंदु हैं।
पुन:, y2 = 4ax
⇒ `"dy"/"dx" = (4"a")/"dx" = (2"a")/y` तथा x2 = 4by
⇒ `"dy"/"dx" = (2x)/(4"b") = x/(2"b")`
इसलिए, (0, 0) पर वक्र y2 = 4ax की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर है, तथा वक्र x2 = 4by की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
⇒ कक्रों के बीच का कोण = `pi/2`
`(4"a"^(1/3)"b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` पर, m1 ......(वक्र (i) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `2("a"/"b")^(1/3)`
= `(2"a")/(4"a"^(2/3)"b"^(1/3))`
= `1/2("a"/"b")^(1/3)` तथा, m2 ....(वक्र (ii) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `(4"a"^(1/3)"b"^(2/3))/(2"b")`
= `2("a"/"b")^(1/3)`
इसलिए, tan θ = `|("m"_2 - "m"_3)/(1 + "m"_1 "m"_2)|`
= `|(2("a"/"b")^(1/3) - 1/2("a"/"b")^(1/3))/(1 + 2("a"/"b")^(1/3) 1/2("a"/"b")^(1/3))|`
= `(3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))`
अतः, θ = `tan^-1((3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))))`
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