Advertisements
Advertisements
Question
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
Advertisements
Solution
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु `underline((- 1/3, (-74)/9))` पर स्पर्श करते हैं।
व्याख्या:
हमारे पास y = 4x2 + 2x – 8 .....(i)
और y = x3 – x + 13 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमारे पास है
`"dy"/'dx"` = 8x + 2
⇒ m1 = 8x + 2 .....[m वक्र का ढलान है (i)]
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dy"/"dx"` = 3x2 – 1
⇒ m2 = 3x2 – 1 ......[m2 वक्र का ढलान है (ii)]
यदि दोनों वक्र एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो m1 = m2
∴ 8x + 2 = 3x2 – 1
⇒ 3x2 – 8x – 3 = 0
⇒ 3x2 – 9x + x – 3 = 0
⇒ 3x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(3x + 1) = 0
∴ x = 3, `(-1)/3`
समीकरण (i) में x = 3 रखने पर हमें प्राप्त होता है,
y = 4(3)2 + 2(3) – 8
= 36 + 6 – 8
= 34
अतः अभीष्ट बिंदु (3, 34) है,
अब x = `- 1/3` के लिए
y = `4((-1)/3)^2 + 2((-1)/3) - 8`
= `4 xx 1/9 - 2/3 - 8`
= `4/9 - 2/3 - 8`
= `(4 - 6 - 72)/9`
= `(-74)/9`
∴ अन्य आवश्यक बिंदु `(- 1/3, (-74)/9)` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
f(x) = secx + log cos2x, 0 < x < 2π का उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
वक्र y2 = x पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष से `pi/4` कोण बनाती है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
x तथा y दो वर्गों की भुजाएँ हैं, इस प्रकार कि y = x – x2 दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तनकी दर पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = 2x + cosx द्वारा परिभाषित है, तो f ______
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
f (x) = 2 sin3x + 3 cos3x का मान x = `(5pi)/6`, पर ______
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
फलन f(x) = `(2x^2 - 1)/x^4`, x > 0, अंतराल में ______ हासमान है।
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
