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Question
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
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Solution
जैसा कि आकृति 6.3 में प्रदर्शित है, मान लीजिए कि ABCD महत्तम क्षेत्रफल का आयत है।
जिसकी भुजा AB = 2x तथा BC = 2y, जहाँ C (x, y) दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 पर स्थित एक बिंदु है।
आयत का क्षेत्रफल A, 4xy है। अर्थात् A = 4xy, जिससे `"A"^2 = 16x^2y^2` = s (मान लिया)
इसलिए, s = `16x^2 (1-x^2/a^2)b^2`
= `"16b"^2/"a"^2` `("a"^2x^2 -x^4)`
⇒ `"ds"/"dx" = "16b"^2/"a"^2 [2"a"^2x - 4x^3]`
पुनः `"ds"/"dx"` = 0
⇒ x = `a/sqrt2` तथा y = `b/sqrt2`
अब `("d"^2"s")/("dx"^2) = (16"b"^2)/"a"^2[2"a^2 -12x^2]`
अतः x = `"a"/sqrt2 पर ("d"^2"s")/("dx"^2) = "16b"^2/"a"^2 [2"a"^2 - 6"a"^2] = 16b^2/a^2 (-4a^2) < 0`
अतः x = `"a"/sqrt2 पर, y = b/sqrt2, "यहाँ s महत्तम है अतएव A भी महत्तम है।"`
महत्तम क्षेत्रफल A = 4.x.y = 4 . `"a"/sqrt2."b"/sqrt2 =2"ab"` वर्ग इकाई
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