Advertisements
Advertisements
Question
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
Advertisements
Solution
दिया गया है कि वक्र का समीकरण है
x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 ....(i)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमारे पास है
`2x + 2y * "dy"/"dx" - 2 - 4 * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `(2y - 4) "dy"/"dx"` = 2 – 2x
⇒ `"dy"/"dx" = (2 - 2x)/(2y - 4)` ....(ii)
क्योंकि वक्र की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर होती है।
∴ प्रवणता `"dy"/"dx" = tan pi/2`
= `oo`
= `1/0`
अतः समीकरण (ii) से हमें प्राप्त होता है
`(2 - 2x)/(2y - 4) = 1/0`
⇒ 2y – 4 = 0
⇒ y = 2
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ x2 + (2)2 – 2x – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x + 4 – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x – 3 = 0
⇒ x2 – 3x + x – 3 = 0
⇒ x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = – 1 या 3
इसलिए, अभीष्ट बिंदु (– 1, 2) और (3, 2) हैं।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
फलन f(x) = `- 3/4 x^4 - 8x^3 - 45/2 x^2 + 105` के सभी स्थानीय उच्चिष्ठ तथा स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
वर्गाकार आधार तथा ऊर्ध्वाधर पृष्ठ वाले धातु के किसी बाक्स में 1024 cm3 वस्तु आती है। शीर्ष तथा आधार के पृष्ठों के माल (वस्तु) का मूल्य Rs 5/cm2 है तथा पृष्ठों के मान का मूल्य Rs 2.50/cm2 हैं। बाक्स का निम्नतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
रेखा x + 3y = 8 के समांतर, वक् 3x2 – y2 = 8 के अभिलंब का समीकरण है।
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 की, बिंदु (2, -1) पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता ______ है।
वह अंतराल, जिसमें फलन f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x – 1 हासमान है,
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
