Advertisements
Advertisements
प्रश्न
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है कि वक्र का समीकरण है
x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 ....(i)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमारे पास है
`2x + 2y * "dy"/"dx" - 2 - 4 * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `(2y - 4) "dy"/"dx"` = 2 – 2x
⇒ `"dy"/"dx" = (2 - 2x)/(2y - 4)` ....(ii)
क्योंकि वक्र की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर होती है।
∴ प्रवणता `"dy"/"dx" = tan pi/2`
= `oo`
= `1/0`
अतः समीकरण (ii) से हमें प्राप्त होता है
`(2 - 2x)/(2y - 4) = 1/0`
⇒ 2y – 4 = 0
⇒ y = 2
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ x2 + (2)2 – 2x – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x + 4 – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x – 3 = 0
⇒ x2 – 3x + x – 3 = 0
⇒ x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = – 1 या 3
इसलिए, अभीष्ट बिंदु (– 1, 2) और (3, 2) हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
वक्र y2 = x पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष से `pi/4` कोण बनाती है।
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
sinx + cosx का उच्चिष्ठ मान ______ है।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
x तथा y दो वर्गों की भुजाएँ हैं, इस प्रकार कि y = x – x2 दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तनकी दर पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + `sqrt3` cosx का उच्चिष्ठ मान x = `pi/6` पर है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
वर्गाकार आधार तथा ऊर्ध्वाधर पृष्ठ वाले धातु के किसी बाक्स में 1024 cm3 वस्तु आती है। शीर्ष तथा आधार के पृष्ठों के माल (वस्तु) का मूल्य Rs 5/cm2 है तथा पृष्ठों के मान का मूल्य Rs 2.50/cm2 हैं। बाक्स का निम्नतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
