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प्रश्न
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
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उत्तर
दिया गया है कि वक्र का समीकरण है
x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 ....(i)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमारे पास है
`2x + 2y * "dy"/"dx" - 2 - 4 * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `(2y - 4) "dy"/"dx"` = 2 – 2x
⇒ `"dy"/"dx" = (2 - 2x)/(2y - 4)` ....(ii)
क्योंकि वक्र की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर होती है।
∴ प्रवणता `"dy"/"dx" = tan pi/2`
= `oo`
= `1/0`
अतः समीकरण (ii) से हमें प्राप्त होता है
`(2 - 2x)/(2y - 4) = 1/0`
⇒ 2y – 4 = 0
⇒ y = 2
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ x2 + (2)2 – 2x – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x + 4 – 8 + 1 = 0
⇒ x2 – 2x – 3 = 0
⇒ x2 – 3x + x – 3 = 0
⇒ x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = – 1 या 3
इसलिए, अभीष्ट बिंदु (– 1, 2) और (3, 2) हैं।
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