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प्रश्न
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
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उत्तर
माना किसी भी समय वृत्त की त्रिज्या r है।
तब किसी भी समय वृत्त का क्षेत्रफल t पर A = πr2 होता है।
∴ `"d"/"dt" "A" = "d"/"dt"(pi"r"^2)`
⇒ `"dA"/"dt" = 2pi"r" * "dr"/"dt"` ......(i)
क्योंकि एक वृत्त का क्षेत्रफल एकसमान दर से बढ़ता है,
हमारे पास `"dA"/"dt"` = k, है, जहाँ k एक स्थिरांक है ......(ii)
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
`2pi"r" * "dr"/"dt"` = k
⇒ `"dr"/"dt" = "k"/(2pi"r") = "k"/(2pi) * (1/"r")`
⇒ `2pi "dr"/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `("d"(2pi"r"))/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `"dP"/"dt" = "k"/"r"`, जहाँ P = 2πr
⇒ `"dP"/"dt" oo 1/"r"`
इस प्रकार परिमाप त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
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