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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
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उत्तर
दिया गया है कि y = b · e– x/a, वक्र का समीकरण और `x/"a" + y/"b"` = 1, रेखा का समीकरण।
मान लीजिए उस बिंदु के निर्देशांक हैं जहाँ वक्र y-अक्ष को काटता है (0, y1)
अब y = b · e– x/a दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dy"/"dx" = "b" * "e"^((-x)/"a") (- 1/"a")`
= `- "b"/"a" * "e"^((-x)/"a")`
तो, स्पर्शरेखा का ढलान, m1 = `- "b"/"a" * "e"^((-x)/"a")`
दोनों पक्षों `x/"a" + y/"b"` = 1 अंतर करना w.r.t. x हमें मिलता है
`1/"a" + 1/"b" * "dy"/"dx"` = 0
तो, रेखा का ढलान m2 = ` (-"b")/"a"`
यदि रेखा वक्र को स्पर्श करती है, तो m1 = m2
⇒ `(-"b")/"a" * "e"^((-x)/"a") = (-"b")/"a"`
⇒ `"e"^((-x)/"a")` = 1
⇒ `(-x)/"a" log "e"` = log 1 .....(दोनों तरफ से log लेकर )
⇒ `(-x)/"a"` = 0
⇒ x = 0
समीकरण y = `"b" * "e"^((-x)/"a")` में x = 0 रखने पर
⇒ y = b · e0 = b
अत: वक्र का दिया गया समीकरण (0, b) पर प्रतिच्छेद करता है
अर्थात y-अक्ष पर।
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