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प्रश्न
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
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उत्तर
मान लीजिए AB व्यास है और C त्रिज्या r वाले वृत्त पर कोई बिंदु है।
∠ACB = 90° ......[अर्धवृत्त में कोण 90° है]
माना AC = x
∴ BC = `sqrt("AB"^2 - "AC"^2)`
⇒ BC = `sqrt((2"r")^2 - x^2)`
⇒ BC = `sqrt(4"r"^2 - x^2)` ....(i)
अब ∆ABC का क्षेत्रफल
A = `1/2 xx "AC" xx "BC"`
⇒ A = `1/2 x * sqrt(4"r"^2 - x^2)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
A2 = `1/4 x^2 (4"r"^2 - x^2)`
माना A2 = Z
∴ Z = `1/4 x^2(4"r"^2 - x^2)`
⇒ Z = `1/4(4x^2"r"^2 - x^4)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dZ"/"dx" = 1/4 [8x"r"^2 - 4x^3]` ....(ii)
`"dZ"/"dx"` = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
∴ `1/4 [8x"r"^2 - 4x^3]` = 0
⇒ `x[2"r"^2 - x^2]` = 0
x ≠ 0
∴ 2r2 – x2 = 0
⇒ x2 = 2r2
⇒ x = `sqrt(2)"r"`
= AC
अब समीकरण (i) से हमारे पास है
BC = `sqrt(4"r"^2 - 2"r"^2)`
⇒ BC = `sqrt(2"r"^2)`
⇒ BC = `sqrt(2)"r"`
तो AC = BC
अत: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`("d"^2"Z")/("dx"^2) = 1/4 [8"r"^2 - 12x^2]`
x = `sqrt(2)"r"` लगाए।
∴ `("d"^2"Z")/("dx"^2) = 1/4 [8"r"^2 - 12 xx 2"r"^2]`
= `1/4[8"r"^2 - 24"r"^2]`
= `1/4 xx (-16"r"^2)`
= `-4"r"^2 < 0` उच्चिष्ठ
इसलिए, ∆ABC का क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब यह एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।
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